짝수의 개수와 자연수의 개수 중 어느 쪽이 많을까?

짝수가 자연수의 부분집합이니까 짝수의 개수가 자연수의 개수보다 많지는 않을 것이다.

그렇다면 자연수의 개수가 짝수의 개수보다 큰가?




어찌보면 당연히 자연수 집합의 크기가 짝수 집합의 크기보다 큰 것 같아보인다.

자연수는 짝수 뿐만 아니라 홀수로도 이루어지고,

짝수의 기수 + 홀수의 기수 = 자연수의 기수이기 때문이다.



  기수(cardinal number)는 수의 일종으로 집합의 크기를 나타내기 위해 사용된다. 여기서 크기는 간단히 원소의 개수를 뜻한다. 집합론의 용어로는 농도라고도 한다.



하지만 요점은 짝수 집합과 자연수 집합, 둘다 무한 집합이라는 데 있다. 

'무한'은 어떤 것의 크기를 나타내는 용어가 아니라 무수히 많다는 성질을 나타내는 용어이다.

그렇기 때문에 무한에는 수학적인 연산이 적용되지 않는다.



  기수로서의 무한은 극한에서 나오는 무한과는 전혀 상관없다.






 그럼 크기 비교는 불가능한 걸까?


  여기서 서로 다른 크기를 가진 무한 집합이 존재한다고 주장한 

  집합론의 창시자, 칸토어를 소개한다.


  칸토어는 두 유한집합 사이에 일대일 대응이 가능하면,

  두 유한집합의 기수가 같다는 것을 밝혔다.


  이를 확장하여 무한집합에서도 일대일 대응의 패턴이 발견되면,

  두 무한집합의 기수는 같다고 할 수 있다고 주장하였다.



  칸토어의 집합론(Set Theory) : 일대일 대응이 가능하면 집합의 기수가 같다.




이를 짝수와 자연수의 크기 비교에 응용해보자.

자연수 집합과 짝수 집합은 다음과 같이 일대일 대응이 가능하다.



따라서 짝수의 크기와 자연수의 크기는 같다.

위와 비슷하게 홀수의 크기와 자연수의 크기가 같다는 것도 쉽게 증명할 수 있다.


  주의 : 일대일 대응 패턴을 찾지 못하더라도 집합 A의 기수가 집합 B의 기수보다 작다고 할 수 없다. 

           일대일 대응 패턴이 없다는 것을 증명해야 집합 A의 기수가 집합 B의 기수보다 작다고 할 수 있다.




참고 자료

1. 기수(cardinality) - 위키피디아

2. 칸토어(Georg Cantor) - 위키피디아

3. 짝수 vs 자연수 - 네이버캐스트


Posted by 하남각목