칸토어의 집합론 - 자연수 vs 정수

Mathematics 2013. 4. 26. 00:30

지난 시간에 배운 칸토어의 집합론을 자연수와 정수의 크기 비교에 응용해보자.

자연수와 정수 사이에서 일대일 대응 패턴만 찾으면 된다.



쉽게 말해 홀수 자연수 n에 대해서는 에 대응시키고

짝수 자연수 n에 대해서는 에 대응시키는 규칙이다.



자연수와 정수의 일대일 대응 규칙을 찾았으므로 두 집합의 기수는 같다.

다시 돌이켜 생각해보면 짝수, 홀수, 정수 모두 자연수 집합과 기수가 같다.


예전 수학자들도 이를 발견하고 자연수 집합의 기수를 표준으로 정했는데, 이를 알레프영(aleph zero)이라고 한다.

자연수 집합과 일대일 대응하는 모든 집합의 기수는 알레프영(aleph zero)이다.  


  aleph zero는 무한집합 기수의 세상에서 자연수 0과 같은 존재이다.

  aleph zero는 aleph null 또는 aleph naught라고도 한다. 기호로는 이다.



또 기수가 (aleph zero)인 집합을 가산집합(countable set)이라고 한다.

즉, 셀 수 있다는 말인데 이는 유한하다는 의미가 아니라 1, 2, 3, 이렇게 자연수로 치환할 수 있다는 의미이다.



예를 들어 짝수로 번호가 세겨진 공을 센다고 하자. 

이때 2, 4, 6, 8,  이렇게 세는 사람은 없을 것이다. 

즉 모두 자연수로 치환하여 1, 2, 3, 4, 셀 것이다.(count)

따라서 자연수와 기수가 같은 모든 집합은 가산집합(countable set)이다.


  가산집합의 기수는 (aleph zero) 이다.



참고 자료 

1. 알레프수(aleph number) - 위키피디아

2. 자연수 vs 정수 - 네이버캐스트



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Posted by 하남각목
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  1. 은둔자 2013.04.26 01:31  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    폭풍 포스팅하고 계시네요. 잘 보고 갑니다.

    블로그 이름이 바뀌었네요. 앞으로도 화이팅입니다.