지난 시간에 짝수, 정수 집합이 자연수 집합과 기수가 같다는 것을 배웠다.

그렇다면 정수보다 훨씬 더 큰 유리수도 가산집합(countable set)일까?


자연수와 유리수의 크기를 비교하기 전에 자연수와 자연수의 순서쌍의 개수를 비교해보자.

자연수의 순서쌍은 다음과 같이 좌표평면상에 표현할 수 있다.




가로줄과 세로줄이 교차하는 지점에 자연수의 순서쌍이 위치한다.

세로줄과 가로줄은 무한하게 만나게 되는데 이는 자연수 집합을 (aleph zero)만큼 합집합한 것이다.

따라서 자연수의 순서쌍은 다음과 같이 무한하다.



그런데 위에서 보듯이 우리는 자연수의 순서쌍 하나하나에 자연수를 부여할 수 있다.

따라서 자연수의 순서쌍 집합은 가산집합(countable set)이며 기수는 (aleph zero)이다.


  자연수와 일대일 대응하는 집합들을 가산집합(countable set)이라 한다.

  또 자연수의 기수는 (aleph zero)이다.




여기서 자연수의 순서쌍(x, y)를 유리수 로 바꾸어 생각해보자.

유리수가 자연수의 순서쌍 집합의 부분집합이라는 것을 느낄 수 있는가?

유리수 2는 순서쌍으로는 (1, 2), (2, 4), (3, 6), 으로 무한하게 표현할 수 있다.




이때, 유리수의 기수는 자연수의 기수와 자연수 순서쌍의 기수 사이의 범위에 있다는 것은 자명하다.

이때 자연수의 기수는 (aleph zero)이고 자연수 순서쌍의 기수 또한 (aleph zero)이다.

따라서 유리수의 기수도 역시 (aleph zero)이다.



고로 자연수의 기수와 유리수의 기수는 같다.




참고 자료

1. 자연수 vs 유리수 - 네이버캐스트


Posted by 하남각목

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