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  1. 2013.04.26 칸토어의 집합론 - 자연수 vs 실수

지금까지 짝수, 정수, 유리수의 기수는 자연수의 기수와 같다는 것을 보였다.

이쯤 되면 '모든 무한집합의 크기는 같은 것이 아닐까?' 하는 의문이 들게 될 것 이다. 

하지만 모든 무한집합이 서로 일대일대응 할 것이라는 것은 사실이 아니다.

즉, 무한집합 간에도 기수의 차이가 있다는 것이다.




앞서 살펴보았듯이 짝수, 혹수, 자연수, 정수, 유리수의 기수는 모두 이다. 

그렇다면 어떤 집합이 보다 큰 기수를 가질까?


  무한집합 A보다 무한집합 B가 기수가 크다고 말하기 위해서는 

  집합 A는 집합 B의 부분집합이면서 일대일 대응이 불가능하다는 것을 증명해야 한다.



대표적인 예로 실수가 있다.

집합론의 창시자인 칸토어는 자연수 집합과 실수 집합 사이에 절대 일대일 대응이 존재할 수 없다는 것을 밝혔다.

이는 흔히 '칸토어의 대각선 논법(Cantor's diagonal argument)'이라 불린다.


  어떤 것이 불가능하다고 증명하는 수학적 전략은 대표적으로 귀류법(proof by contradiction)이 있다. 

  일대일 대응이 가능하다고 가정하고 모순을 찾는 것이다.




칸토어의 대각선 논법은 간단하다.

다음과 같이 우리가 어떤 일대일 대응을 찾았다고 가정해보자.


그럼 우리는 이 대응에 절대 들어가지 않는 또 다른 실수하나를 발견할 수 있다.

E0과 1번째 숫자가 다르고

E1과 2번째 숫자가 다르고

E2와 3번째 숫자가 다른 또 다른 실수 하나를 만들어 낼 수 있다.

이 말은 일대일대응이 되지 않았다는 것이고, 이는 가정에 모순이다.

따라서, 자연수 집합과 실수 집합 사이에는 일대일 대응이 존재하지 않는다.


  칸토어의 대각선 논법은 무리수를 포함하는 집합에서만 사용 가능하다.



따라서 우리는 실수집합은 자연수 집합보다 기수가 크다고 말할 수 있다.

그리고 실수의 기수를 이라 칭한다.



참고자료

1. 자연수 vs 실수 - 네이버캐스트

2. 칸토어의 대각선 논법(Cantor's diagonal argument) - 위키피디아



Posted by 하남각목